Evaluate the determinant

$$

\begin{vmatrix}

1+x&1&1\\

1&1+y&1\\

1&1&1+z\\

\end{vmatrix}

$$

Answer:将矩阵的第一行乘以-1加到第二行,得到

$$

\begin{vmatrix}

1+x&1&1\\

-x&y&0\\

1&1&1+z\\

\end{vmatrix}

$$

将矩阵的第一行乘以-1加到第三行，得到

$$

\begin{vmatrix}

1+x&1&1\\

-x&y&0\\

-x&0&z\\

\end{vmatrix}=xyz+xy+yz+zx

$$

 

 

 

Show the $3\times 3$ Vandermonde determinant identity

$$

\begin{vmatrix}

1&1&1\\

a_1&a_2&a_3\\

a_1^2&a_2^2&a_3^2\\

\end{vmatrix}=(a_1-a_2)(a_2-a_3)(a_3-a_1)

$$

 

我们先看该矩阵的转置:

$$

\begin{vmatrix}

1&a_1&a_1^2\\

1&a_2&a_2^2\\

1&a_3&a_3^2\\

\end{vmatrix}

$$

然后第一行乘以-1加到第二行上,将第一行乘以-1加到第三行上:

$$

\begin{vmatrix}

1&a_1&a_1^2\\

0&a_2-a_1&a_2^2-a_1^2\\

0&a_3-a_1&a_3^2-a_1^2\\

\end{vmatrix}=(a_2-a_1)(a_3^2-a_1^2)-(a_3-a_1)(a_2^2-a_1^2)=(a_1-a_2)(a_3-a_1)(a_2-a_3)

$$

And evaluate the determinant

$$

\begin{vmatrix}

1&a&a^2-bc\\

1&b&b^2-ca\\

1&c&c^2-ab\\

\end{vmatrix}

$$

Answer:将矩阵的第一行乘以-1加到第二行上,将矩阵的第二行乘以-1加到第三行上，将矩阵的第三行乘以-1加到第一行上:

$$

\begin{vmatrix}

0&a-c&(a-c)(a+b+c)\\

0&b-a&(b-a)(a+b+c)\\

0&c-b&(c-b)(a+b+c)\\

\end{vmatrix}

$$

可见，最后的结果是0.